Question

18．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．
（1）求∠CDB的度數(shù)；
（2）求證：△DCA∽△DAB；
（3）若CD的長(zhǎng)為1，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠CDA=135°，∠ADB=135°即可解決問題．
（2）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似即可判定．
（3）由△DCA∽△DAB，推出$\frac{DC}{DA}$=$\frac{DA}{DB}$=$\frac{AC}{BA}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，又CD=1，推出AD=$\sqrt{2}$，DB=2．根據(jù)BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$，求出BC，再在Rt△ABC中，求出AB即可解決問題．

解答 （1）解：∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°．
又∵∠ACD=∠DAB，
∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°，
∴∠CDA=135°
同理可得∠ADB=135°
∴∠CDB=360°-∠CDA-∠ADB=360°-135°-135°=90°．

（2）證明：∵∠CDA=∠ADB，∠ACD=∠DAB，
∴△DCA∽△DAB        

（3）解：∵△DCA∽△DAB，
∴$\frac{DC}{DA}$=$\frac{DA}{DB}$=$\frac{AC}{BA}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
又∵CD=1，
∴AD=$\sqrt{2}$，DB=2．
又∵∠CDB=90°，
∴BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，∵AC=BC=$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，本題的突破點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)∠CDB=90°，屬于中考�？碱}型．