Question

5．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，以AD為直徑的⊙O，以C為圓心的圓弧BD，與⊙O交于點E，連接CE，并延長交AB于點F．
（1）求證：CF與⊙O相切；
（2）求CF的長；
（3）求△ADE的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OE、DE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠ODE=∠OED，∠CDE=∠CED，推出∠OED+∠CED=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）根據(jù)切線長定理得出FC=AF+DC，設(shè)AF=x，則，BF=4-x，CF=4+x，在RT△BCF中，根據(jù)勾股定理得出（4+x）²=（4-x）²+4²，解得x=1，從而求得CF的長；
（3）根據(jù)平行線三角形相似求得EN，從而求得EM，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可．

解答 解：（1）連接OE，DE，
∵OD=OE，CE=CD，
∴∠ODE=∠OED，∠CDE=∠CED，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ODE+∠CDE=90°，
∴∠OED+∠CED=90°，
即OE⊥CF，
∵OE為半徑，
∴CF與⊙O相切．
（2）∵∠DAB=∠ADC=90°，
∴AB、DC是⊙O的切線，
∵CF是⊙O的切線，
∴AF=EF，DC=EC，
∴FC=AF+DC，
設(shè)AF=x，則，BF=4-x，
∴CF=4+x，
在RT△BCF中，CF²=BF²+BC²，
即（4+x）²=（4-x）²+4²，解得x=1，
∴CF=4+1=5；
（3）過E作MN⊥AD，則MN∥AB，
∴△ECN∽△FCB，
∴$\frac{EN}{BF}$=$\frac{EC}{CF}$，
∵BF=4-1=3，CE=4，CF=5，
∴$\frac{EN}{3}$=$\frac{4}{5}$，
∴EN=$\frac{12}{5}$，
∵MN=AB=4，
∴ME=4-$\frac{12}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∴△ADE的面積=$\frac{1}{2}$AD•EM=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{8}{5}$=$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，切線的判定，切線長定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定好性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．