Question

4．如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)A、B、C．
（1）用直尺畫(huà)出該圓弧所在圓的圓心M的位置并寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，0），求證直線(xiàn)CD是⊙M的切線(xiàn)．

Answer 1

分析 （1）作AB和BC的垂直平分線(xiàn)，兩線(xiàn)交于一點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求，由圖形可知：這點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）；
（2）設(shè)過(guò)C點(diǎn)與x軸垂直的直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為E，連結(jié)MC，作直線(xiàn)CD．得出CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，根據(jù)勾股定理求出MC²=20，CD²=5，推出∠MCD=90°，根據(jù)切線(xiàn)的判定推出即可．

解答 解：（1）如圖1，連接AB、BC，
作AB和BC的垂直平分線(xiàn)，兩線(xiàn)交于一點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求，
由圖形可知：這點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0），
∴圓弧所在圓的圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）；

（2）由A（0，4），可得小正方形的邊長(zhǎng)為1，從而可得B（4，4）、C（6，2），
如圖2，設(shè)過(guò)C點(diǎn)與x軸垂直的直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為E，連結(jié)MC，作直線(xiàn)CD．
∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，
在Rt△CEM中，∠CEM=90°，
∴MC²=ME²+CE²=4²+2²=20，
在Rt△CED中，∠CED=90°，
∴CD²=ED²+CE²=1²+2²=5，
∴MD²=MC²+CD²，
∴∠MCE=90°，
∵M(jìn)C為半徑，
∴直線(xiàn)CD是⊙M的切線(xiàn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，切線(xiàn)的判定等，在判定一條直線(xiàn)為圓的切線(xiàn)時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線(xiàn)和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線(xiàn)的垂線(xiàn)段，證明該線(xiàn)段的長(zhǎng)等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線(xiàn)．