Question

9．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P（m，n），定義一種變換：作點(diǎn)P（m，n）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P′，再將P′向左平移k（k＞0）個(gè)單位得到點(diǎn)P_k′，P_k′叫做對(duì)點(diǎn)P（m，n）的k階“?”變換．
（1）求P（3，2）的3階“?”變換后P₃′的坐標(biāo)；
（2）若直線y=3x-3與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的2階“?”變換后得到點(diǎn)C，求過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線M的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線M的對(duì)稱軸與x軸交于D，若在拋物線M對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)E，使得以E，D，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)P（m，n）的k階“?”變換的定義求解；
（2）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出A（1，0），B（0，-3），再根據(jù)新定義求出C（-3，0），然后利用交點(diǎn)式求拋物線解析式；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2}{2}$=-1，可得到D（-1，0），利用勾股定理計(jì)算出BD=$\sqrt{10}$，然后分類討論：當(dāng)DB=DE=$\sqrt{10}$，如圖，易得E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，$\sqrt{10}$）和（-1，-$\sqrt{10}$）；當(dāng)BD=BE，如圖，利用對(duì)稱易得E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-6）；若ED=EB，如圖，設(shè)E（-1，t），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到t²=（-1）²+（t+3）²，解得t=-$\frac{5}{3}$，于是可得此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-$\frac{5}{3}$）．

解答 解：（1）由3階“?”變換定義：P（3，2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P'的坐標(biāo)為（-3，2），再將P'（-3，2）向左平移3個(gè)單位得P₃'的坐標(biāo)P₃'（-6，2）；
（2）當(dāng)y=0，3x-3=0，解得x=1，則A（1，0）；當(dāng)x=0，y=3x-3=-3，則B（0，-3）；
由2階“?”變換定義：A（1，0）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為A'的坐標(biāo)為（-1，0），再將A'（-1，0）向左平移2個(gè)單位得P₃'的坐標(biāo)A₃'（-3，0），則C（-3，0）；
設(shè)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線M的解析式y(tǒng)=a（x+3）（x-1），
將B（0，-3）代入得a•3•（-1）=-3，解得a=1，
所以拋物線M的解析式為y=（x+3）（x-1）=x²+2x-3；
（3）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2}{2}$=-1，則D（-1，0），
而B（0，-3），
∴BD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
若DB=DE=$\sqrt{10}$，如圖，則E₁（-1，$\sqrt{10}$），E₂（-1，-$\sqrt{10}$），
若BD=BE，如圖，則E₃（-1，-6）；
若ED=EB，如圖，E₄B=E₄D，設(shè)E₄（-1，t），
則t²=（-1）²+（t+3）²，解得t=-$\frac{5}{3}$，則E₄（-1，-$\frac{5}{3}$），
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，$\sqrt{10}$）、（-1，-$\sqrt{10}$）、（-1，-6）、（-1，-$\frac{5}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與幾何圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．