Question

4．已知平面直角坐標(biāo)系中，A（-1，2），B（2，1），線段AB交y軸于C點(diǎn)
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）在y軸上的點(diǎn)P，若_△ABP≤6，求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式，只需令x=0，就可得到直線AB與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）運(yùn)用割補(bǔ)法可得到CP的范圍，然后根據(jù)CP=|y_P-y_C|，就可求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=2}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$．
故直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{3}$．
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{5}{3}$，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，$\frac{5}{3}$）；

（2）∵A（-1，2），B（2，1），
∴|x_A|=1，|x_B|=2，
∴S_△ABP=S_△ACP+S_△BCP
=$\frac{1}{2}$CP•|x_A|+$\frac{1}{2}$CP•|x_B|
=$\frac{1}{2}$CP•1+$\frac{1}{2}$CP•2
=$\frac{3}{2}$CP．
∵S_△ABP≤6，
∴$\frac{3}{2}$CP≤6，
∴CP≤4，
∴|y_P-$\frac{5}{3}$|≤4，
∴-4≤y_P-$\frac{5}{3}$≤4，
∴-$\frac{7}{3}$≤y_P≤$\frac{17}{3}$．
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為-$\frac{7}{3}$≤y_P≤$\frac{17}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求直線的解析式、直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、解絕對(duì)值不等式等知識(shí)，在求三角形面積時(shí)用到了割補(bǔ)法，它是求不規(guī)則圖形面積常用的方法，應(yīng)熟練掌握，另外，需要注意的是本題中CP=|y_P-y_C|，而不是CP=y_P-y_C．