Question

7．如圖，四邊形ABCD內接于圓，延長AD、BC相交于點E，點F是BD的延長線上的點，且AB=AC．
（1）求證：DE平分∠CDF；
（2）若AC=3cm，AD=2cm，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由∠ABC+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180°，推出∠CDE=∠ABC，由∠EDF=∠ADB=∠ACB，以及AB=AC，推出∠ABC=∠ACB，即可推出∠EDF=∠CDE解決問題．
（2）證△ABD∽△AEB，通過相似三角形的對應成比例線段，求出DE的值．

解答 （1）證明：∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠CDE=∠ABC，
∵∠EDF=∠ADB=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EDF=∠CDE，
∴DE平分∠CDF．

（2）解：∵∠ADB=∠ABC，∠DAB=∠BAE，
∴△ABD∽△AEB
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AB}$，
∵AB=AC=3，AD=2
∴AE=$\frac{A{B}^{2}}{AD}$=$\frac{9}{2}$，
∴DE=$\frac{9}{2}$-2=$\frac{5}{2}$（cm）．

點評 本題綜合考查了角平分線的判定，相似三角形的判定和性質，圓內接四邊形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．．