Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（4，3），點(diǎn)B（6，0），邊AB上有一點(diǎn)P（m，1），點(diǎn)M，N分別在邊OB、OA上，聯(lián)結(jié)MN，MN∥AB，聯(lián)結(jié)PM、PN、AM．
（1）求直線AB的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)AC=CM時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q在邊AB上，S_△ANQ=S_△ANC，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式，再把P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由條件可證明△ACP≌△MCN，可證得四邊形APMN為平行四邊形，由A、P的坐標(biāo)可求得AP的長(zhǎng)，則可求得MN的長(zhǎng)，利用平行線分線段成比例可求得OM的長(zhǎng)，則可求得M的坐標(biāo)；
（3）由條件可知點(diǎn)Q為AP的中點(diǎn)，由A、P的坐標(biāo)可求求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+6，
∵P（m，1）在直線AB上，
∴1=-$\frac{3}{2}$m+6，解得m=$\frac{10}{3}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{10}{3}$，1）；

（2）∵M(jìn)N∥AB，
∴∠PAC=∠NMC，
在△ACP和△MCN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAC=∠NMC}\\{AC=MC}\\{∠ACP=∠MCN}\end{array}\right.$
∴△ACP≌△MCN（ASA），
∴AP=MN，
∴四邊形APMN為平行四邊形，
∵A（4，3），P（$\frac{10}{3}$，1），
∴MN=AP=$\sqrt{（4-\frac{10}{3}）^{2}+（3-1）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∵B（6，0），
∴OB=6，AB=$\sqrt{（4-6）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵M(jìn)N∥AB，
∴$\frac{OM}{OB}$=$\frac{MN}{AB}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{OM}{6}$=$\frac{\frac{2\sqrt{10}}{3}}{\sqrt{13}}$，解得OM=$\frac{4\sqrt{130}}{13}$，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{4\sqrt{130}}{13}$，0）；

（3）∵S_△ANQ=S_△ANC，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)Q到AN的距離相等，
∴CQ∥AN，
∴C為PN的中點(diǎn)，
∴Q為AP的中點(diǎn)，
∵A（4，3），P（$\frac{10}{3}$，1），
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{11}{3}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中證得四邊形APMN為平行四邊形，求得OM的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出點(diǎn)Q為AP的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．