Question

3．如圖1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，AE、AF交BD于M、N兩點，連EN．
（1）若EF∥MN，則∠ANE=90°，$\frac{EF}{MN}$=$\sqrt{2}$．
（2）如圖2，轉動∠EAF，（1）中的結論是否仍成立？請證明．

Answer 1

分析 （1）延長CB，在CB的延長線上截取GB=DF，連接AG，由于∠DBC=∠EAF=45°，所以A、B、E、N四點共圓，然后證明△GBA≌△FDA（SAS），可知∠GAB=∠FAD，GA=AF，從而可證明△GAE≌△FAE，可得GE=EF，最后證明△AGE∽△AMN，即可得出$\frac{GE}{MN}$=$\frac{AE}{AN}$=$\sqrt{2}$．
（2）與（1）的證明思路相同．

解答 解：（1）延長CB，在CB的延長線上截取GB=DF，連接AG，
在正方形ABCD中，
∠DBC=45°，AB=AD，
∴∠DBC=∠EAF=45°，
∴A、B、E、N四點共圓，
∵∠ABC=90°，
∴由圓內接四邊形性質可知：∠ANE=90°，
∵∠EAF=45°，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AN，
在△GBA與△FDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADF}\\{GB=DF}\end{array}\right.$，
∴△GBA≌△FDA（SAS），
∴∠GAB=∠FAD，GA=AF，
∵∠BAE+∠FAD+∠EAF=90°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠BAE+∠GAB=45°，
即∠GAE=45°，
在△GAE與△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{GA=AF}\\{∠GAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
由圓周角定理可知，∠AEG=∠ANM，
∵∠GAE=∠MAN，
∴△AGE∽△AMN
∴$\frac{GE}{MN}$=$\frac{AE}{AN}$=$\sqrt{2}$，
即$\frac{EF}{MN}$=$\sqrt{2}$，
（2）轉動∠EAF時，由于AE、AF交BD于M、N兩點，
延長CB，在CB的延長線上截取GB=DF，連接AG，
在正方形ABCD中，
∠DBC=45°，AB=AD，
∴∠DBC=∠EAF=45°，
∴A、B、E、N四點共圓，
∵∠ABC=90°，
∴由圓內接四邊形性質可知：∠ANE=90°，
∵∠EAF=45°，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AN，
在△GBA與△FDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADF}\\{GB=DF}\end{array}\right.$，
∴△GBA≌△FDA（SAS），
∴∠GAB=∠FAD，GA=AF，
∵∠BAE+∠FAD+∠EAF=90°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠BAE+∠GAB=45°，
即∠GAE=45°，
在△GAE與△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{GA=AF}\\{∠GAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
由圓周角定理可知，∠AEG=∠ANM，
∵∠GAE=∠MAN，
∴△AGE∽△AMN
∴$\frac{GE}{MN}$=$\frac{AE}{AN}$=$\sqrt{2}$，
即$\frac{EF}{MN}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：（1）90°，$\sqrt{2}$；

點評 本題考查正方形的性質，涉及相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理、圓周角定理等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用所知識．