Question

1．在△ABC中，AB=6，BC=8，∠ACB=30°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C₁在線段CA的延長線上時(shí)，求∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）如圖2，連接AA₁，CC₁，若△CBC₁的面積為16，求△ABA₁的面積；
（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P₁，直接寫出線段EP₁長度的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A₁C₁B=∠ACB=30°，BC=BC₁，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）由△ABC≌△A₁BC₁，易證得△ABA₁∽△CBC₁，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△ABA₁的面積；
（3）①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB上時(shí)，EP₁最�。�
②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB的延長線上時(shí)，EP₁最大，即可求得線段EP₁長度的最大值與最小值．

解答 解：（1）如圖1，

依題意得：△A₁C₁B≌△ACB，
∴BC₁=BC，∠A₁C₁B=∠C=30°，
∴∠BC₁C=∠C=30°，
∴∠CC₁A₁=60°；

（2）如圖2，

由（1）知：△A₁C₁B≌△ACB，
∴A₁B=AB，BC₁=BC，∠A₁BC₁=∠ABC，
∴∠1=∠2，$\frac{A1B}{C1B}$=$\frac{AB}{CB}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴△A₁BA∽△C₁BC，
∴$\frac{{{S_{△{A_1}BA}}}}{{{S_{△{C_1}BC}}}}={（{\frac{2}{3}}）^2}=\frac{4}{9}$=（$\frac{3}{4}$）²=$\frac{9}{16}$，
∵S${\;}_{△CB{C}_{1}}$=16，
∴S_△A1BA=9；

（3）線段EP₁長度的最大值為11，EP₁長度的最小值1．
解題過程如下：①如圖a，過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，
∵△ABC為銳角三角形，
∴點(diǎn)D在線段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin30°=8×$\frac{1}{2}$=4，
當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)，BP與AC垂直的時(shí)候，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB上時(shí)，EP₁最小，最小值為：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=4-3=1；
②如圖b，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB的延長線上時(shí)，EP₁最大，最大值為：EP₁=BC+BE=8+3=11．
綜上所述，線段EP₁長度的最大值為11，EP₁長度的最小值1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系．