Question

4．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，P是BC邊上的一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD是AC邊上的高，試探究PE+PF與BD之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 根據(jù)已知，過P作PG⊥CD于G，可得矩形PGDF，所以PF=GD①，再由矩形PGDF得PG∥AB，又由AB=AC得∠ABC=∠C，所以∠CPG=∠ABC，再∠PEB=∠BGP=90°，CP=PC，則△CPE≌△PCG，所以得PE=CG②，①+②得出PE+PF=BD．

解答 證明：過P作PG⊥BD于G，
∵BD⊥AB\C，PF⊥AC，
∴PG∥DF，GD∥PF（垂直于同一條直線的兩條直線互相平行），
∴四邊形PGDF是平行四邊形（兩條對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形）；
又∵∠GDF=90°，
∴四邊形PGDF是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形），
∴PF=GD（矩形的對(duì)邊相等）①，
∵四邊形PGDF是矩形，
∴PG∥DF，即PG∥AB，
∴∠BPG=∠B（兩條直線平行，同位角相等），
又∵AB=AC（已知），
∴∠ABC=∠C（等腰三角形的兩底角相等），
∴∠BPG=∠ABC（等量代換），
即∠BPG=∠PBE，
在△BPE和△PBG中$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠BGP=90°}\\{∠PBE=∠BPG}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△PBG（AAS），
∴PE=BG②，
①+②：PE+PF=BG+GD，
即PE+PF=BD．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．