Question

6．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=18°，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F，使得DF=AB，連接AF，BF，CF，G是BC上一點(diǎn)，連接FG，交AC于點(diǎn)H，已知∠ADB=36°，BF平分∠ABC．
（1）試判斷BD與AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若BF=CF，∠BGF=∠FDC，求∠BFG的度數(shù)；
（3）求證：FH是△ACF的高．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：BD=$\frac{1}{2}$AC．先證明DB=DC，再證明DB=DA即可．
（2）根據(jù)∠BFG=180°-∠FBG-∠BGF，求出∠FBG，∠BGF即可．
（3）根據(jù)∠CHG=180°-∠CGH-∠GCH，求出∠CGH即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）結(jié)論：BD=$\frac{1}{2}$AC．
理由：∵∠ADB=∠DBC+∠DCB，∠ADB=36°，∠ACB=18°，
∴∠DBC=∠DCB=18°，
∴DB=DC，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBA=∠DAB=72°，
∴DA=DB，
∴DB=DA=DC，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC．

（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°∴∠FDC=∠FGB=∠DEC+∠DCE=108°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBG=$\frac{1}{2}$×90°=45°
∴∠BFG=180°-∠FBG-∠FGB=180°-45°-108°=27°．

（3）∵∠CGH=180°-∠BGF=72°，
∴∠CHG=180°-∠CGH-∠GCH=180°-72°-18°=90°，
∴FG⊥AC，
∴FH是△ACF的高．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．