Question

1．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD=10，sin∠BDC=$\frac{4}{5}$，∠ADB=90°，點E為邊AB的中點，點F為線段CD上的一動點（點F不與C、D重合），聯(lián)結FE，與BD相交于點G，點P為邊AD上一點，且PE⊥EF．設BG=x，AP=y．
（1）求線段AB的長；
（2）當△DGF是以DG為腰的等腰三角形時，求BG的長；
（3）求y關于x的函數(shù)解析式及其定義域．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作CH⊥BD于H．首先根據(jù)三角函數(shù)求出CH，再利用勾股定理求出DH，在Rt△ADB中，設AD=4k，AB=5k，利用勾股定理求出k即可解決問題；
（2）分兩種情形解決問題①當DG=DF時，②當GD=GF時，分別求解即可；
（3）如圖3中，作PM⊥AE于M，GN⊥EB于N．只要證明△PEM∽△EGN，可得$\frac{PM}{EN}$=$\frac{EM}{GN}$，由此構建函數(shù)關系式即可；

解答 解：（1）如圖1中，作CH⊥BD于H．

∵CD=CB，CH⊥BD，
∴DH=BH，
∵CD∥AB，
∴∠BDC=∠DBA，
∴sin∠BDC=sin∠ABD=$\frac{4}{5}$，
∵∠ADB=90°，
∴$\frac{DH}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴CH=8，
∴DH=BH=6，BD=12，設AD=4k，AB=5k，
∵AD²+BD²=AB²，
∴16k²+16²=25k²，
∴k=4，
∴AD=16，AB=20．

（2）如圖2中，

①當DG=DF時，則∠DFG=∠DGF=∠BGE=∠BEG，
∴BE=BG，
∵AB=20，AE=BE，
∴BG=BE=10．
②當GD=GF時，作GM⊥AB于M．
∵∠GDF=∠GFD，CD∥AB，
∴∠GDF=∠GBE，∠GFD=∠GEB，
∴∠GBE=∠GEB，
∴GE=GB，∵GM⊥EB，
∴EM=BM=5，
∵cos∠ABD=$\frac{BM}{BG}$=$\frac{3}{5}$，
∴BG=$\frac{25}{3}$，
綜上所述，滿足條件的BG的值為10或$\frac{25}{3}$．

（3）如圖3中，作PM⊥AE于M，GN⊥EB于N．

∵∠PEG=∠PME=∠GNE=90°，
∴∠PEM+∠GNE=90°，∠GEN+∠EGN=90°，
∴∠PEM=∠EGN，
∴△PEM∽△EGN，
∴$\frac{PM}{EN}$=$\frac{EM}{GN}$，
∵PA=y，BG=x，則易知GN=$\frac{4}{5}$x，BN=$\frac{3}{5}$x，AM=$\frac{4}{5}$y，PM=$\frac{3}{5}$y，
∴EM=10-$\frac{4}{5}$y，EN=10-$\frac{3}{5}x$，
∴$\frac{\frac{3}{5}y}{10-\frac{3}{5}x}$=$\frac{10-\frac{4}{5}y}{\frac{4}{5}x}$，
整理得y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{25}{2}$（6＜x＜12）．

點評 本題考查四邊形綜合題、銳角三角函數(shù)、勾股定理、相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、平行線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．