Question

20．如圖，△ABE、△ADF都是等邊三角形，BF與ED交點C，
（1）如圖1，求證BF=ED；
（2）如圖2，求證：AC平分∠BCD；
（3）如圖3，若∠EAF=30°，連接EF，EF⊥EA于E，連接BD交AF于G，F(xiàn)G=2$\sqrt{5}$，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形得：AB=AE，AF=AD，∠BAE=∠DAF=60°，所以∠BAF=∠EAD，根據(jù)SAS證明△BAF≌△EAD，則BF=ED；
（2）分別作△BAF和△EAD的高線AM、AN，根據(jù)面積法證明AM=AN，所以由角平分線的逆定理得：A在∠BCD的平分線上，即AC平分∠BCD；
（3）作輔助線，構(gòu)建直角三角形，證明∠BND=90°，得直角△BND，設(shè)EF=x，根據(jù)30°角的性質(zhì)和三角函數(shù)依次表示：FD=AF=2x，AE=BE=$\sqrt{3}$x，F(xiàn)N=$\frac{1}{2}$x，EN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，在直角△BND，利用∠BDN的正切列式，求出DM的長，得出AF的長，最后求出EF的長．

解答 證明：（1）如圖1，∵△ABE、△ADF都是等邊三角形，
∴AB=AE，AF=AD，∠BAE=∠DAF=60°，
∴∠BAE+∠EAF=∠DAF+∠EAF，
即∠BAF=∠EAD，
∴△BAF≌△EAD，
∴BF=ED；
（2）如圖2，過A作AM⊥BF于M，AN⊥DE于N，
∵△BAF≌△EAD，
∴S_△BAF=S_△EAD，
∴$\frac{1}{2}$BF•AM=$\frac{1}{2}$DE•AN，
∵BF=DE，
∴AM=AN，
∴A在∠BCD的平分線上，即AC平分∠BCD；
（3）如圖3，延長BE、DF交于N，過G作GM⊥DF于M，
∵△AFD是等邊三角形，
∴∠GFM=60°，
在Rt△GFM中，sin∠GFM=$\frac{GM}{GF}$，
sin60°=$\frac{GM}{2\sqrt{5}}$，
GM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{15}$，
∵∠BAE=∠FAD=60°，∠EAF=30°，
∴∠EAD=60°+60°+30°=150°，
∴∠ABD+∠ADB=180°-150°=30°，
∵∠EBA+∠FDA=60°+60°=120°，
∴∠EBD+∠FDB=120°-30°=90°，
∴∠BND=90°，
在Rt△AEF中，∠EAF=30°，
∴∠EFA=60°，
∴∠EFN=180°-∠AFD-∠EFA=60°，
∴∠NEF=30°，
設(shè)EF=x，則FD=AF=2x，AE=BE=$\sqrt{3}$x，F(xiàn)N=$\frac{1}{2}$x，EN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
Rt△BND中，tan∠BDN=$\frac{BN}{ND}=\frac{GM}{DM}$，
∴$\frac{\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{3}}{2}x}{\frac{1}{2}x+2x}$=$\frac{\sqrt{15}}{DM}$，
∴DM=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
∴DF=AF=FM+DM=$\sqrt{5}$+$\frac{5\sqrt{5}}{3}$=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題是三角形的綜合題，比較復(fù)雜，考查了等邊三角形、直角三角形、全等三角形和特殊三角函數(shù)的性質(zhì)；相對比，（1）和（2）難度適中，（3）比較復(fù)雜，第（3）巧妙構(gòu)建直角△FGM和△BDN是關(guān)鍵；從已知FG入手，根據(jù)30°和60°的函數(shù)值依次求出各邊長，得出最后的結(jié)論．