Question

11．設(shè)方程x²+x-1=0的兩根是x₁，x₂，求4x₁⁵+10x₂³的值．

Answer 1

分析 先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系確定出x₁與x₂的兩根之積與兩根之和的值，代入所求的代數(shù)式即可得到結(jié)果．

解答 解：x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1，
4x₁⁵+10x₂³
=4×（${x}_{1}^{2}$×${x}_{1}^{2}$×x₁）+10×（${x}_{2}^{2}$×x₂）
=4×$（1{-x}_{1}）^{2}$×x₁+10×（1-x₂）×x₂
=$4（{x}_{1}^{2}-{2x}_{1}+1）{×x}_{1}+10{（x}_{2}{+x}_{2}-1）$
=4（1-x₁-2x₁+1）×x₁+10（2x₂-1）
=4（2-3x₁）×x₁+10（2x₂-1）
=4（2x₁+3x₁-3）+10（2x₂-1）
=20x₁-12+20x₂-10
=20（x₁+x₂）-22
=-20-22
=-42．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問(wèn)題：①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x₁²+x₂²等等．