Question

10．按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，排在第一位的數(shù)稱為第1項(xiàng)，記為a₁，依此類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項(xiàng)，記為a_n．
一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：數(shù)列1，3，9，27，…，為等比數(shù)列，其中a₁=1，公比為q=3．
（1）等比數(shù)列3，6，12，…，的第6項(xiàng)是96．
（2）如果一個數(shù)列a₁，a₂，a₃，a₄，…，是等比數(shù)列，且公比為q．根據(jù)定義可得到：$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=q，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=q，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=q，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=q．所以a₂=a₁•q，a₃=a₂•q=（a₁•q）•q=a₁•q²，a₄=a₃•q=（a₁•q²）•q=a₁•q³，…，由此可得：a_n=a₁•q^n-1（用a₁和q的代數(shù)式表示）．
（3）若用S_n表示等比數(shù)列a₁，a₂，a₃，a₄，…，a_n，中前n項(xiàng)和．證明分兩種情況：當(dāng)q=1時，a₂=a₁，a₃=a₁，a₄=a₁，…，∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=na₁．
①根據(jù)q=1的證明方法，證明：當(dāng)q≠1時，等比數(shù)列前n項(xiàng)和S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$成立．
②求（1）中等比數(shù)列S₆的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的定義先確定公比q=2，繼而可得；
（2）根據(jù)題意得出每一項(xiàng)等于首項(xiàng)乘以公比的序數(shù)減1次方，據(jù)此可得；
（3）①由題意得S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+a₁•q+a₁•q²+…+a₁•q^n-1，則qS_n=a₁•q+a₁•q²+…+a₁•q^n-1+a₁•qⁿ，兩式相減整理可得答案；②將a₁=3、q=2、n=6代入求解可得．

解答 解：（1）∵該等比數(shù)列的公比q=6÷3=2，
∴數(shù)列第4項(xiàng)為12×2=24，第5項(xiàng)為24×2=48，第6項(xiàng)為48×2=96，
故答案為：96；

（2）∵a₂=a₁•q，a₃=a₂•q=（a₁•q）•q=a₁•q²，a₄=a₃•q=（a₁•q²）•q=a₁•q³，…，
∴a_n=a₁•q^n-1，
故答案為：a₁•q^n-1；

（3）①當(dāng)q≠1時，
∵a₂=a₁•q，a₃=a₁•q²，a₄=a₁•q³，…，a_n=a₁•q^n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+a₁•q+a₁•q²+…+a₁•q^n-1 ①，
則qS_n=a₁•q+a₁•q²+…+a₁•q^n-1+a₁•qⁿ ②，
①-②，得：（1-q）S_n=a₁-a₁•qⁿ=a₁（1-qⁿ），
∵q≠1，
∴q-1≠0，
則S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$；
②∵等比數(shù)列3，6，12，…，的首項(xiàng)a₁=3，公比q=2，
∴S₆=$\frac{3×（1-{2}^{6}）}{1-2}$=189．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)字的變化類，閱讀材料，理解等比數(shù)列的定義及數(shù)列求和的方法是解題的關(guān)鍵．