Question

5．已知：二次函數(shù)y=2x²+4x+m-1，與x軸的公共點為A，B．
（1）如果A與B重合，求m的值；
（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點；
①當(dāng)m=1時，求線段AB上整點的個數(shù)；
②若設(shè)拋物線在點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）整點的個數(shù)為n，當(dāng)1＜n＜8時，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)A、B重合時，拋物線與x軸只有一個交點，此時△=0，從可求出m的值．
（2）①m=1代入拋物線解析式，然后求出該拋物線與x軸的兩個交點的坐標(biāo)，從而可求出線段AB上的整點；
②根據(jù)二次函數(shù)表達式可以用帶m表達出兩根之差，根據(jù)1＜兩根之差＜8，即可解題．

解答 解：（1）∵A與B重合，
∴二次函數(shù)y=2x²+4x+m-1的圖象與x軸只有一個公共點，
∴方程2x²+4x+m-1=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=4²-4×2（m-1）=24-8m=0，
解得：m=3．
∴如果A與B重合，m的值為3．
（2）①當(dāng)m=1時，原二次函數(shù)為y=2x²+4x+m-1=2x²+4x，
令y=2x²+4x=0，則x₁=0，x₂=-2，
∴線段AB上的整點有（-2，0）、（-1，0）和（0，0）．
故當(dāng)m=1時，線段AB上整點的個數(shù)有3個．
②由點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）可用以下不等式表示
（3）如圖，

對于二次函數(shù)y=2x²+4x+m-1，可知對稱軸x=-1，
∵拋物線在點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）整點的個數(shù)為n，且1＜n＜8，
∴x=0時，y≤0；x=3時，y＞0；
則有$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤0}\\{18+12+m-1＞0}\end{array}\right.$，
解得：-29＜m≤1．

點評 本題考查了二次函數(shù)求根公式的應(yīng)用，考查了二次函數(shù)只有一個根時△=0的應(yīng)用，熟練解二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．