Question

9．在求1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶的值時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)：從第二個(gè)加數(shù)起每一個(gè)加數(shù)都是前一個(gè)加數(shù)的2倍，于是他設(shè)：S=1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶①然后在①式的兩邊都乘以2，得：2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷ ②；②-①得2S-S=2⁷-1，S=2⁷-1，即1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶=2⁷-1．
（1）求1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶的值；
（2）求1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁶（a≠0且a≠1）的值．

Answer 1

分析 （1）依照題意設(shè)設(shè)S=1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶值，然后在其兩邊同乘以3得3S=.3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶..+3⁷，再求出兩式的差變形即可．
（2）可仿照（1）求解．

解答 解：（1）設(shè)S=1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶…①
則：3S=.3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶..+3⁷…②
②-①得：2S=3⁷-1
即：1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶=$\frac{1}{2}$（3⁷-1）．
（2）設(shè)S=1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁶…①
∵a≠0
∴aS=a+a²+a³+…+a²⁰¹⁶+a²⁰¹⁷…②
②-①得：（a-1）S=a²⁰¹⁷-1
∵a≠1
∴S=$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$
即：1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁶=$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律、有理數(shù)的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解題目中所體現(xiàn)的一種解題方法與思路，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力．