Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+2mx-3+4m-m²的對稱軸是直線x=1
（1）求拋物線的表達式；
（2）點D（n，y₁），E（3，y₂）在拋物線上，若y₁＞y₂，請直接寫出n的取值范圍；
（3）設(shè)點M（p，q）為拋物線上的一個動點，當(dāng)-1＜p＜2時，點M關(guān)于y軸的對稱點形成的圖象與直線y=kx-4（k≠0）有交點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將原拋物線的解析式配方化為頂點式，根據(jù)對稱軸x=1列式可得m的值；
（2）把點E的橫坐標(biāo)代入y=-x²+2x求得E的坐標(biāo)，根據(jù)對稱軸得到其對稱點，再由圖形寫出n的取值；
（3）先確定M的對稱點的取值，及原拋物線關(guān)于y軸對稱的拋物線，即可以看作是沿y軸翻折所得，計算兩個邊界點時直線y=kx-4的k值，寫出結(jié)論即可．

解答 解：（1）∵y=-x²+2mx-m²-3+4m=-（x-m）²+4m-3，
對稱軸是對稱軸是直線x=1，
∴m=1，
∴拋物線的表達式為：y=-x²+2x；

（2）如圖1：

當(dāng)x=3時，y=-x²+2x=-9+6=-3，
∵拋物線的對稱軸為x=1，
則E（3，y₂）關(guān)于x=1對稱點的坐標(biāo)為（-1，-3），
由圖象可知，-1＜n＜3時，y₁＞y₂；

（3）由題意可得M′（-p，q），翻折后的函數(shù)表達式為y=-x²-2x，
∴結(jié)合-1＜p＜2，確定動點M及M′，
當(dāng)x=-1時，y=-3；當(dāng)x=2時，y=0，
因為動點M與M’關(guān)于y軸對稱，所以圖象確定如下，如圖2，

當(dāng)過（1，-3）時，代入 y=kx-4，k=1，
當(dāng)過（-2，0）時，代入 y=kx-4，k=-2，
綜上所述：k＞1或k＜-2．

點評 本題考查了利用條件確定二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象與系數(shù)k的關(guān)系、關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的特點，運用了數(shù)形結(jié)合的思想，第三問的關(guān)鍵是理解“點M關(guān)于y軸的對稱點形成的圖象”，正確畫出符合條件的圖象，此題有難度，尤其是第三問．