Question

19．已知：如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，線段BD垂直平分AC，DC∥AB．
求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 根據(jù)ASA可證△AOB≌△COD，根據(jù)全等三角形的性質可得AB=CD，可得四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)線段垂直平分線的性質可得AD=CD，再根據(jù)菱形的判定即可求解．

解答 證明：∵DC∥AB，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∵線段BD垂直平分AC，
∴OA=OC，AD=CD，
在△AOB與△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBA=∠ODC}\\{∠OAB=∠OCD}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COD，
∴AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AD=CD，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評 此題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質以及線段垂直平分線的性質．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．