Question

9．如圖，銳角△ABC中．AD是∠BAC的平分線．線段BE垂直AC于E點．交線段AD于F．
（1）試判斷∠ABC和∠C、∠BFD之間存在何種等量關(guān)系，請證明：
（2）如果∠BAC是鈍角，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？如不成立．又有怎樣相應(yīng)的結(jié)論？請畫圖證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1，由AD是∠BAC的平分線，得到∠1=∠2=$\frac{1}{2}∠$BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C），由于BE⊥AC，得到∠2+∠ADE=90°，根據(jù)對頂角的性質(zhì)得到∠2=90°-∠BFD，于是得出結(jié)論；
（2）如圖2，由AD是∠BAC的平分線，得到∠1=∠2=$\frac{1}{2}∠$BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C），根據(jù)BE⊥AC，得到∠EAF+∠BFD=90°，由對頂角相等得到∠2=∠EAF，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}∠$BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C），
∵BE⊥AC，
∴∠2+∠ADE=90°，
∵∠AFE=∠DFB，
∴∠2=90°-∠BFD，
∴∠BFD=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C）；

（2）（1）中結(jié)論成立，
如圖2，∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}∠$BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C），
∵BE⊥AC，
∴∠EAF+∠BFD=90°，
∵∠2=∠EAF，
∴∠2+∠BFD=90°，
∴∠2=90°-∠BFD，
∴∠BFD=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C）．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，對頂角的性質(zhì)，正確的作出圖形是解答（2）問的關(guān)鍵．