Question

10．如圖①所示，直線y=x+1交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，OB=3OA，M在直線AC上，AC=CM．
（1）求直線BM的解析式；
（2）如圖①所示，點(diǎn)N在MB的延長(zhǎng)線上，BN=AC，連CN交x軸于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖②所示，連OM，在直線BM上是否存在點(diǎn)K，使得∠MOK=45°？若存在，求點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線y=x+1交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，得到A（-1，0），C（0，1），進(jìn)而得到點(diǎn)B（3，0），過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，證明△AOC≌△MEC，
所以EM=AO=1，EC=OC=1，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B（3，0）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，即可解答；
（2）根據(jù)點(diǎn)N在直線直線y=-x+3上，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，-x+3），根據(jù)BN=AC，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，-1），設(shè)直線NC的解析式為y=mx+n，把點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，-1），C（0，1）代入y=mx+n得：$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=-1}\\{n=1}\end{array}\right.$，所以直線NC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1，當(dāng)y=0時(shí)，x=2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）．
（3）①當(dāng)K在線段BM上時(shí)，根據(jù)M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），得到直線OM的方程為：y=2x．因?yàn)橹本�OM的斜率大于直線y=x的斜率，所以在MB上存在點(diǎn)K點(diǎn)使∠MOK=45°，設(shè)直線OM的斜率為k₂，直線OK的斜率為k₁，設(shè)k點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則k₂=2，${k}_{1}=\frac{a}$，再根據(jù)兩直線夾角公式tanx=$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{1+{k}_{2}{k}_{1}}$，得：tan45°=$\frac{2-\frac{a}}{1+2•\frac{a}}$=1，整理得：a-3b=0，根據(jù)直線MB方程為y=-x+3，點(diǎn)K在MB上，得到b=-a+3，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a-3b=0}\\{b=-a+3}\end{array}\right.$，求出a，b，即可解答．②當(dāng)K在BM的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵∠K′OM=45°，∠MOK=45°，推出OK⊥OK′，由直線OK的解析式為y=$\frac{1}{3}$x，推出直線OK′的解析式為y=-3x，利用方程組求出點(diǎn)K′坐標(biāo)即可；

解答 解：（1）∵直線y=x+1交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，
∴A（-1，0），C（0，1），
∴OA=OC=1，
∵OB=3OA，
∴OB=3，
∴點(diǎn)B（3，0），
如圖①，過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，

∵OA=OC，
∴∠CAO=∠OCA=45°，
∴∠ACO=∠ECM=45°，
∵AC=CM，
∴△AOC≌△MEC，
∴EM=AO=1，EC=OC=1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），
設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，
把點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B（3，0）代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BM的解析式為：y=-x+3．
（2）∵點(diǎn)N在直線直線y=-x+3上，
∴設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，-x+3），
∵BN=AC，
∴$\sqrt{{（x-3）}^{2}+（-x+3）^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$，
解得：x₁=4，x₂=2，
∵點(diǎn)N在MB的延長(zhǎng)線上，
∴x＞3，
∴x=4，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，-1），
設(shè)直線NC的解析式為y=mx+n，
把點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，-1），C（0，1）代入y=mx+n得：
$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=-1}\\{n=1}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$
∴直線NC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1，
當(dāng)y=0時(shí)，x=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）．
（3）如圖②，①當(dāng)K在線段BM上時(shí)，

∵M(jìn)點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
∴直線OM的方程為：y=2x．
∵直線OM的斜率大于直線y=x的斜率，
∴在MB上存在點(diǎn)K點(diǎn)使∠MOK=45°，
設(shè)直線OM的斜率為k₂，直線OK的斜率為k₁，
設(shè)點(diǎn)K坐標(biāo)為（a，b），
則k₂=2，${k}_{1}=\frac{a}$，
再根據(jù)兩直線夾角公式tanx=$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{1+{k}_{2}{k}_{1}}$，
得：tan45°=$\frac{2-\frac{a}}{1+2•\frac{a}}$=1，
整理得：a-3b=0，
∵直線MB方程為y=-x+3，點(diǎn)K在MB上，
∴b=-a+3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a-3b=0}\\{b=-a+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{9}{4}}\\{b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴K點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$）．
②當(dāng)K在BM的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵∠K′OM=45°，∠MOK=45°，
∴OK⊥OK′，
∵直線OK的解析式為y=$\frac{1}{3}$x，
∴直線OK′的解析式為y=-3x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴K′（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)K的坐標(biāo)為（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$）或（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，在（3）中，根據(jù)直線的斜率判定點(diǎn)K的存在是關(guān)鍵，并注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．