Question

14．已知直角三角形兩條直角邊的長是3和4，則其內切圓的圓心為點A，外接圓的圓心為點B，則AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖，在Rt△EFD中，EF=4，DF=3，∠F=90°，內切圓的圓心為點A，外接圓的圓心為點B．作AN⊥EF于N，AH⊥DE于H，AM⊥DF于M．
先求出內切圓的半徑，再求出切線長EN、EH，在Rt△ABH中，利用勾股定理即可解決問題．

解答 解：如圖，在Rt△EFD中，EF=4，DF=3，∠F=90°，內切圓的圓心為點A，外接圓的圓心為點B．

作AN⊥EF于N，AH⊥DE于H，AM⊥DF于M．
∵DE=$\sqrt{E{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴EB=DB=$\frac{5}{2}$，
∴AN=AM=AH=$\frac{EF+DF-ED}{2}$=1，
∴EN=EH=3，
∴BH=$\frac{1}{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查三角形內切圓與內心、三角形外接圓與外心．勾股定理等知識，解決本題的關鍵是學會添加常用輔助線，求得內切圓半徑，利用勾股定理求出AB，屬于中考常考題型．