Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2與直線l交于點A、B兩點，且A點為拋物線與y軸的交點，B（-2，-4），拋物線的對稱軸是直線x=2，過點A作AC⊥AB，交拋物線于點C、x軸于點D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）拋物線上是否存在點K，使得以AC為邊的平行四邊形ACKL的面積等于△ABC的面積？若存在，請直接寫出點K的橫坐標；若不存在，請說明理由．[提示：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=-

b

2a

，頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）]．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)對稱軸為直線x=2和B是拋物線上點即可求得a、b的值，即可解題；
（2）易求得點A坐標，作BE⊥x軸于E，易證△ABE∽△DAO，可得

BE

AO

=

AE

OD

，即可求得OD的值，即可解題；
（3）易求得AB長度，再根據(jù)S_△ABC=

1

2

AB•AC=S_{平行四邊形ACKL}，可得點K到直線AC距離為

1

2

AB，易求得直線AC解析式，將直線AC向左向右平移

1

2

AB個單位，求得直線與拋物線交點即可解題．

解答：解：（1）∵對稱軸為x=2，拋物線經過點B，
∴

- b 2a =2 4a-2b+2=-4

，
∴解得：a=-

1

2

，b=2，
∴拋物線的解析式是：y=-

1

2

x²+2x+2；
（2）∵點A在y軸上，令x=0，則y=2，
∴點A坐標（0，2），
作BE⊥x軸于E，

∵AC⊥AB，AO⊥OD，
∴△ABE∽△DAO，
∴

BE

AO

=

AE

OD

∵B（-2，-4），
∴OA=2，AE=6，BE=2，
∴OD=6，
∴點D坐標是（6，0）；
（3）答：存在兩個滿足條件的點K，

∵AB=2

10

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=S_{平行四邊形ACKL}，
∴點K到直線AC距離為

1

2

AB=

10

；
①直線KL解析式為y=-

1

3

x+2+

10

，
則-

1

3

x+2+

10

=-

1

2

x²+2x+2，
解得：x=

7+ 109

3

，
②直線KL解析式為y=-

1

3

x+2-

10

，
則-

1

3

x+2-

10

=-

1

2

x²+2x+2，
解得：x=

7- 109

3

，
∴存在K點，橫坐標為

7- 109

3

或

7+ 109

3

．

點評：本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)交點的求解，考查了二次函數(shù)解析式的求解，考查了相似三角形的判定和相似三角形對應邊比例相等的性質，考查了點到直線的距離的計算，本題中求得點K到直線AC距離為

1

2

AB是解題的關鍵．