Question

3．已知：如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，AC=6cm，BC=8cm．
（1）求⊙O的半徑．
（2）請用尺規(guī)作圖作出點P，使得點P在優(yōu)弧CAB上時，△PBC的面積最大，請保留作圖痕跡，并求出△PBC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理得到∠C=90°，則利用勾股定理可計算出AB=10，從而得到⊙O的半徑；
（2）作BC的垂直平分線交優(yōu)弧CAB于P，交BC于D，利用垂徑定理得到BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，則利用勾股定理可計算出OD=3，然后利用三角形面積公式計算此時△PBC的面積．

解答 解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴⊙O的半徑為5cm；

（2）如圖，作BC的垂直平分線交優(yōu)弧CAB于P，交BC于D，
則BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△OBD中，∵OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=3，
∴PD=3+5=8，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PD•BC=$\frac{1}{2}$×8×8=32．

點評 本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了圓周角定理和垂徑定理．