Question

13．如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，E是BC邊上的一點，連接AE，將△ACE沿AE折疊，使C點落在AB邊上的D處，連接CD，若S_△BCD=4，則AE的長為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 8$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 連接DE，過D作DH⊥BC于H，有折疊的性質(zhì)得到AD=AC，CE=DE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得∠B=45°，于是得到△BDE是等腰直角三角形，得到DH=$\frac{1}{2}$BE，設(shè)DH=x，則BE=2x，CE=DE=BD=$\sqrt{2}$x，由S_△BCD=4求得x，即可求得CE，AC，根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)論．

解答 解：連接DE，過D作DH⊥BC于H．
∵將△ACE沿AE折疊，使C點落在AB邊上的D處，
∴AD=AC，CE=DE，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DH=$\frac{1}{2}$BE，
設(shè)DH=x，
∴BE=2x，CE=DE=BD=$\sqrt{2}$x，
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•DH=$\frac{1}{2}×$（2$+\sqrt{2}$）x•x=4，∴x²=4×（2-$\sqrt{2}$）
∴x=2$\sqrt{2-\sqrt{2}}$，
AC=（2+$\sqrt{2}$）x，
∴AE²=AC²+CE²=（2+$\sqrt{2}$）²x²+2x²=（8+4$\sqrt{2}$）x²=4（2+$\sqrt{2}$）x²=4×（2+$\sqrt{2}$）×4×（2-$\sqrt{2}$）
=32，
∴AE=4$\sqrt{2}$，
故選C．

點評 本題主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積公式，勾股定理，能夠把CE，AC用DH=x的代數(shù)式表示出來是解決問題的關(guān)鍵．