Question

17．已知：如圖所示，四邊形ABCD是矩形，分別以BC、CD為一邊作等邊△EBC和等邊△FCD，點(diǎn)E在矩形上方，點(diǎn)F在矩形內(nèi)部，連接AE、EF．
（1）求∠ECF的度數(shù)；
（2）求證：AE=FE．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出∠BCD=90°，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ECD=30°，得出∠ECF=30°；
（2）由SAS證明△EBA≌△ECF，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=∠ABC=90°，AB=CD，
∵三角形△EBC是等邊三角形，
∴∠ECB=∠EBC=60°，EC=EB，
∴∠ECD=∠BCD-∠ECB=90°-60°=30°，∠EBA=90°-60°=30°，
∵△FCD是等邊三角形，
∴∠FCD=60°，CF=CD，
∴∠ECF=∠FCD-∠ECD=30°；
（2）證明：∵AB=CD，CF=CD，
∴AB=CF，
在△EBA和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CF}&{\;}\\{∠EBA=∠ECF=30°}&{\;}\\{EB=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EBA≌△ECF（SAS），
∴AE=FE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形和等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．