Question

如圖，C為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B，D在BD兩側(cè)作AB⊥BD，ED⊥BD，連結(jié)AC，EC．已知AB=5，DE=9，BD=8，設(shè)CD=x．
（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)；
（2）請(qǐng)問(wèn)：點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最小？
（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,二次根式的應(yīng)用

專題：

分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最��；
（3）由（1）（2）的結(jié)果可作BD=12，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥BD，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值．

解答：解：（1）∵AC=

AB2+BC2

=

25+(8-x)2

，
CE=

CD2+DE2

=

x2+81

，
∴AC+CE=

x2+81

+

25+(8-x)2

；

（2）當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最小；

（3）如右圖所示，作BD=12，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥BD，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，
設(shè)BC=x，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)的

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值．
過(guò)點(diǎn)A作AF∥BD交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，得矩形ABDF，
則AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE=

AF2+EF2

=

122+52

=13，
即

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值為13．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了軸對(duì)稱求最短路徑，本題利用了數(shù)形結(jié)合的思想，求形如

x2+4

+

(12-x)2+9

的式子的最小值，可通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．