Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸交于點B，與y軸交于點A，點C在x軸的負(fù)半軸上，并且OC=OB，一動點P在射線AB上運動，連結(jié)CP交y軸于點D，連結(jié)BD．過B，P，D三點作圓，交y軸與點E，過點E作EF∥x軸，交圓于點F，連結(jié)BF，DF．
（1）求點C的坐標(biāo)．
（2）若動點P在線段AB上運動，
①求證∠EDB=∠ADP；
②設(shè)AP=n，CP=m，求當(dāng)n為何值時，m的值最小？最小值是多少？
（3）試探究：點P在運動的過程中，當(dāng)△BDF為直角三角形，并且兩條直角邊之比為2：1時，請直接寫出OD的長$\frac{6}{11}$或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）令x=0，得點A的坐標(biāo)，令y=0得B點的坐標(biāo)，由OC=OB得點C的坐標(biāo)；
（2）①首先利用SAS定理判定△DOC≌△DOB，由全等三角形的性質(zhì)易得∠CDO=∠BDO，由對頂角的性質(zhì)易得∠CDO=∠ADP，等量代換得∠BDE=∠ADP；②要使CP的長最短，則需CP⊥AB，由∠CBP=∠ABO，∠AOB=∠CPB=90°易得Rt△BPC∽Rt△BOA，由相似三角形的性質(zhì)易得$\frac{AO}{CP}=\frac{AB}{BC}=\frac{BO}{BP}$，代入數(shù)值解得m，n；
（3）分兩種情況①當(dāng)BD：BF=2：1時，②當(dāng)$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{2}$時，分別作出輔助線求解．

解答 解：（1）令x=0，則y=4，
∴A（0，4），
令y=0，則-$\frac{4}{3}x$+4=0，x=3，
∴B（3，0），
又∵OC=OB=3，且點C在負(fù)半軸上，
∴C點的坐標(biāo)為（-3，0）；
（2）①在△DOC與△DOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠DOB=∠DOC}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△DOC≌△DOB（SAS），
∴∠CDO=∠BDO，
又∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDO=ADP，
即∠BDE=∠ADP；
②要使CP的長最短，則需CP⊥AB，
∴∠CPB=90°，
∵∠CBP=∠ABO，
∠AOB=∠CPB=90°，
∴Rt△BPC∽Rt△BOA，
∴$\frac{AO}{CP}=\frac{AB}{BC}=\frac{BO}{BP}$，
∴$\frac{4}{m}$=$\frac{5}{6}$=$\frac{3}{5-n}$，
解得：n=$\frac{7}{5}$，m=$\frac{24}{5}$，
即n=$\frac{7}{5}$時，m有最小值，最小值為$\frac{24}{5}$；
（3）①當(dāng)BD：BF=2：1時，
如圖1，過點F作FH⊥OB于點H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴$\frac{OB}{HF}$=$\frac{OD}{HB}$=$\frac{BD}{FB}$=2，
∴FH=$\frac{3}{2}$，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四邊形OEFH是矩形，
連結(jié)PE，
∵∠ADP是△DPE的一個外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一個外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∴∠DFE=∠OAB，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{DE}{EF}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{DE}{EF}$，
∴DE=$\frac{3}{4}$EF，
∴OD+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$×（3-$\frac{1}{2}$OD），解得OD=$\frac{6}{11}$；
②當(dāng)$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{2}$時，
如圖2，連結(jié)EB，過點F作FG⊥OB于點G，

同理可得DE=$\frac{3}{4}$EF，
同理可得：△BOD∽△FGB，
∴$\frac{OB}{GF}$=$\frac{OD}{GB}$=$\frac{BD}{FB}$=$\frac{1}{2}$，
∴FG=6，OD=$\frac{1}{2}$BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四邊形OEFG是矩形，
6-OD=$\frac{3}{4}$×（3+2OD），解得OD=$\frac{3}{2}$．
綜上所述：當(dāng)△BDF為直角三角形，并且兩條直角邊之比為2：1時，OD的長為$\frac{6}{11}$或$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{6}{11}$或$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查了圓的綜合，用到的知識點是一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、圓周角及相似三角形的判定及性質(zhì)，關(guān)鍵是綜合運用有關(guān)知識作出輔助線，分兩種情況求解．