Question

8．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，以AD為直徑作⊙O，連接BO并延長至E，使得OE=OB，連接AE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若BD=$\frac{1}{2}$AD=4，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）證明△BOD≌△EOA，得到∠OAE=90°，根據(jù)切線的判定定理得到答案；
（2）求出∠AOE=45°，根據(jù)三角形的面積公式和扇形的面積公式計算得到答案．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，
∴∠ODB=90°，
在△BOD和△EOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOE=∠DOB}\\{OE=OB}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△EOA，
∴∠OAE=∠ODB=90°，
∴AE是⊙O的切線；
（2）∵∠ODB=90°，BD=OD，
∴∠BOD=45°，∴∠AOE=45°，
則陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{45π×{4}^{2}}{360}$=8-2π．

點評 本題考查的是切線的性質和判定和扇形面積的計算，掌握切線的性質定理和扇形的面積公式是解題的關鍵．