Question

19．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限只有-個交點A，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于B、C 兩點，AD垂直平分OB，垂足為D，OA=$\sqrt{13}$，cos∠ABO=$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$．
（1）求點A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)解析式；
（2）求一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用垂直平分線的性質(zhì)求出BD的值，然后根據(jù)勾股定理求得AD的值，再根據(jù)已知條件求出點A的坐標(biāo)（2，3），再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)點A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式．

解答 解：（1）∵AD垂直平分OB，
∴OA=AB=$\sqrt{13}$．
∵cos∠ABO=$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，
∴BD=2．
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{13-4}$=3，
∵OD=BD，
∴OD=2．
∴A（2，3）．
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$，
將A（2，3）代入：k=2×3=6．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{6}{x}$．

（2）∵A（2，3），OD=DB=2，
∴OB=4，
∴B（4，0）．
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=ax+b（a≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=3}\\{4a+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+6．

點評 本題綜合考查了垂直平分線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式，點的坐標(biāo)的特點以及一次函數(shù)的解析式的求法．