Question

10．如圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，如圖（2）是由如圖（1）中陰影部分拼成的一個長方形．
（1）請你分別表示圖中陰影部分的面積
（2）以上結果可驗證哪個乘法公式
（3）試利用這個公式計算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2⁸+1）+1．

Answer 1

分析 （1）求出大正方形及小正方形的面積，作差即可得出陰影部分的面積；圖2所示的長方形的長和寬分別為（a+b）、（a-b），由此可計算出面積；
（2）根據(jù)陰影部分的面積相等可得出平方差公式；
（3）利用平方差公式計算即可．

解答 解：（1）大正方形的面積為a²，小正方形的面積為b²，
故圖（1）陰影部分的面積值為a²-b²；
長方形的長和寬分別為（a+b）、（a-b），
故圖（2）重拼的長方形的面積為（a+b）（a-b）；
（2）比較上面的結果，都表示同一陰影的面積，它們相等，
即a²-b²=（a+b）（a-b），可以驗證平方差公式，這也是平方差公式的幾何意義；
（3）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2⁸+1）+1
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）…（2⁸+1）+1
=2¹⁶-1+1
=2¹⁶．

點評 本題考查了平方差公式的幾何背景，注意幾次分割后邊的變化情況是關鍵，屬于基礎題．