Question

7．如圖，直線(xiàn)y=x+2與x軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=（m+5）x^2m+1的圖象交于點(diǎn)A、C，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在第三象限．
（1）求此反比例函數(shù)的解析式及B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若△AOB的面積為2，求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)的定義得2m+1=-1，解方程得m=-1，于是得到反比例函數(shù)的解析式為$y=\frac{4}{x}$，把y=0代入y=x+2得x=-2，于是得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）；
（2）根據(jù)三角形面積公式得A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
（3）分三種情況討論即可求得．

解答 解：（1）由題意得：
2m+1=-1，
m=-1．
故反比例函數(shù)的解析式為$y=\frac{4}{x}$；
由y=x+2可知B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）
（2）過(guò)點(diǎn)A作AD垂直x軸于D點(diǎn)
∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）
∴OB=2
∵三角形AOB的面積為2
∴$\frac{1}{2}$OB•AD=2，
∴AD=2，
把y=2代入y=$\frac{4}{x}$得x=2．
∴點(diǎn)A坐標(biāo)是（2，2）；
（3）存在；
∵點(diǎn)A坐標(biāo)是（2，2），
∴OA=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)OP=OA時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2$\sqrt{2}$，0）或（2$\sqrt{2}$，0）；
當(dāng)AP=OA時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）；
當(dāng)AP=OP時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．
綜上，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2$\sqrt{2}$，0）或（2$\sqrt{2}$，0）或（4，0）或（2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩函數(shù)解析式．