Question

18．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點(diǎn)．
①當(dāng)∠A=20°時(shí)，∠BOC=100°；
②當(dāng)∠A=40°時(shí)，∠BOC=110°；
③當(dāng)∠A=60°時(shí)，∠BOC=120°；
④∠A=n°時(shí)，猜測(cè)∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$•n°，
并用所學(xué)的三角形的有關(guān)知識(shí)把④進(jìn)行說(shuō)明．

Answer 1

分析 運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，由∠A可求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)角平分線定義就可求出∠OBC+∠OCB，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理就可求出∠BOC．

解答 解：①當(dāng)∠A=20°時(shí)，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=160°．
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=80°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=100°．
②當(dāng)∠A=40°時(shí)，同理可得∠BOC=110°；
③當(dāng)∠A=60°時(shí)，同理可得∠BOC=120°；
④當(dāng)∠A=n°時(shí)，同理可得∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$•n°．
故答案分別為：①100°；②110°；③120°；④90°+$\frac{1}{2}$•n°．
④的理由：當(dāng)∠A=n°時(shí)，∠ABC+∠ACB=180°-n°．
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-n°）=90°-$\frac{1}{2}$•n°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$•n°）=90°+$\frac{1}{2}$•n°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，把∠BOC轉(zhuǎn)化為∠A是解決本題的關(guān)鍵．