Question

4．直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)A，把等腰三角板OBD的頂點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，然后把三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)α度，使頂點(diǎn)B恰好落在AC上的點(diǎn)B處，則α=30°．

Answer 1

分析 如圖，作OE⊥AC于E，利用一次函數(shù)解析式可確定A（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），C（2，0），則利用勾股定理得到AC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，則∠ACO=30°，所以O(shè)E=$\frac{1}{2}$OC=1，∠EOC=60°，由△OBD為等腰直角三角形得到OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OD=$\sqrt{2}$，∠BOD=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OB′=OB=$\sqrt{2}$，∠BOB′=α，接著在Rt△OEB′中，由OE=1，OB′=$\sqrt{2}$可得∠EOB′=45°，于是可計(jì)算出∠B′OC=15°，所以∠BOB′=∠BOC-∠B′OC=30°．

解答 解：如圖，作OE⊥AC于E，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則A（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=0，解得x=2，則C（2，0），
∵OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OC=2，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACO=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OC=1，∠EOC=60°，
∵△OBD為等腰直角三角形，
∴OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OD=$\sqrt{2}$，∠BOD=45°，
∵△BOD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)B落在直線AC的點(diǎn)B′處，
∴OB′=OB=$\sqrt{2}$，∠BOB′=α，
在Rt△OEB′中，∵OE=1，OB′=$\sqrt{2}$，
∴∠EOB′=45°，
∴∠B′OC=60°-45°=15°，
∴∠BOB′=∠BOC-∠B′OC=30°，
即α=30°．
故答案為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形變化：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見(jiàn)的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和等腰直角三角形的性質(zhì)．