Question

16．在等腰Rt△ABC和等腰Rt△A₁B₁C₁中，斜邊B₁C₁中點(diǎn)O也是BC的中點(diǎn)．
（1）如圖1，則AA₁與CC₁的數(shù)量關(guān)系是相等；位置關(guān)系是垂直．
（2）如圖2，將△A₁B₁C₁繞點(diǎn)O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，上述結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論．
（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，直線AA₁、CC₁交于點(diǎn)P，設(shè)AB=4，則PB長(zhǎng)的最小值是2$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 （1）連接AO，A₁O，如圖1，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AO⊥OC，AO=OC，A₁O⊥OC₁，OA₁=OC₁，則可判斷A點(diǎn)、A₁點(diǎn)、O點(diǎn)共線，于是得到AA₁⊥C₁C，AA₁=C₁C；
（2）連接OA，A₁O，如圖2，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AOA₁=∠COC₁，則可利用“SAS”證明△OAA₁≌△OCC₁，所以AA₁=C₁C，∠OAA₁=∠OCC₁，延長(zhǎng)AA₁交CC₁于H，交BC于M，如圖2，然后利用三角形內(nèi)角和得到∠MHC=∠MOA=90°，于是得到AA₁⊥C₁C；
（3）利用圓周角定理得到點(diǎn)P在以AC為直徑的圓上，以AC為直角作⊙Q，連接BQ交⊙Q于P′，如圖3，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可判斷此時(shí)BP′最小，然后利用勾股定理得到BQ=2$\sqrt{5}$，所以PB長(zhǎng)的最小值是2$\sqrt{5}$-2．

解答 解：（1）連接AO，A₁O，如圖1，
∵△ABC和△A₁B₁C₁都是等腰直角三角形，斜邊B₁C₁中點(diǎn)O也是BC的中點(diǎn)，
∴AO⊥OC，AO=OC，A₁O⊥OC₁，OA₁=OC₁，
∴A點(diǎn)、A₁點(diǎn)、O點(diǎn)共線，
∴AA₁⊥C₁C，OA-OA₁=OC-OC₁，
∴AA₁=C₁C；
（2）上述結(jié)論仍然成立．理由如下：
連接OA，A₁O，如圖2，
∵△A₁B₁C₁繞點(diǎn)O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，
∴∠AOA₁=∠COC₁，
在△OAA₁和△OCC₁中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AO{A}_{1}=∠CO{C}_{1}}\\{O{A}_{1}=O{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△OAA₁≌△OCC₁，
∴AA₁=C₁C，∠OAA₁=∠OCC₁，
延長(zhǎng)AA₁交CC₁于H，交BC于M，如圖2，
∵∠AMO=∠CMH，
∴∠MHC=∠MOA=90°，
∴AA₁⊥C₁C．
（3）∵AA₁⊥C₁C，
∴∠APC=90°，
∴點(diǎn)P在以AC為直徑的圓上，
以AC為直角作⊙Q，連接BQ交⊙Q于P′，如圖3，此時(shí)BP′最小，
在Rt△ABQ中，BQ=$\sqrt{A{B}^{2}+A{Q}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BP′=BQ-QP′=2$\sqrt{5}$-2，
∴PB長(zhǎng)的最小值是2$\sqrt{5}$-2．
故答案為：相等、垂直；2$\sqrt{5}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；學(xué)會(huì)利用三角形全等的知識(shí)解決線段相等或角相等的問題；利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系解決（3）小題．