Question

9．如圖1，直線y=x+1與拋物線y=2x²相交于A、B兩點，與y軸交于點M，M、N關(guān)于x軸對稱，連接AN、BN．

（1）①求A、B的坐標(biāo)；②求證：∠ANM=∠BNM；
（2）如圖2，將題中直線y=x+1變?yōu)閥=kx+b（b＞0），拋物線y=2x²變?yōu)閥=ax²（a＞0），其他條件不變，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①聯(lián)立直線和拋物線解析式可求得A、B兩點的坐標(biāo)；②過A作AC⊥y軸于C，過B作BD⊥y軸于D，可分別求得∠ANM和∠BNM的正切值，可證得結(jié)論；
（2）當(dāng)k=0時，由對稱性可得出結(jié)論；當(dāng)k≠0時，過A作AE⊥y軸于E，過B作BF⊥y軸于F，設(shè)$A（{x_1}，a{x_1}^2）$、B$（{x_2}，a{x_2}^2）$，聯(lián)立直線和拋物線解析式，消去y，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可求得$\frac{NF}{BF}=\frac{NE}{AE}$，則可證明Rt△AEN∽Rt△BFN，可得出結(jié)論．

解答 解：
（1）①由已知得2x²=x+1，解得$x=-\frac{1}{2}$或x=1，
當(dāng)$x=-\frac{1}{2}$時，$y=\frac{1}{2}$，當(dāng)x=1時，y=2，
∴A、B兩點的坐標(biāo)分別為（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），（ 1，2）；
②如圖1，過A作AC⊥y軸于C，過B作BD⊥y軸于D，

由①及已知有A（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（ 1，2），且OM=ON=1，
∴$tan∠ANM=\frac{AC}{CN}=\frac{{\frac{1}{2}}}{{1+\frac{1}{2}}}=\frac{1}{3}$，$tan∠BNM=\frac{BD}{DN}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，
∴tan∠ANM=tan∠BNM，
∴∠ANM=∠BNM；

（2）∠ANM=∠BNM成立，
①當(dāng)k=0，△ABN是關(guān)于y軸的軸對稱圖形，
∴∠ANM=∠BNM；
②當(dāng)k≠0，根據(jù)題意得：OM=ON=b，設(shè)$A（{x_1}，a{x_1}^2）$、B$（{x_2}，a{x_2}^2）$．
如圖2，過A作AE⊥y軸于E，過B作BF⊥y軸于F，

由題意可知：ax²=kx+b，即ax²-kx-b=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{k}{a}，{x_1}{x_2}=-\frac{a}$，
∵$\frac{NF}{BF}-\frac{NE}{AE}=\frac{{b+a{x_2}^2}}{x_2}-\frac{{b+a{x_1}^2}}{{-{x_1}}}$=$\frac{{b{x_1}+a{x_1}{x_2}^2+b{x_2}+a{x_2}{x_1}^2}}{{{x_1}{x_2}}}$=$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（a{x_1}{x_2}+b）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$\frac{{\frac{k}{a}[a•（-\frac{a}）+b]}}{{（-\frac{a}）}}=0$，
∴$\frac{NF}{BF}=\frac{NE}{AE}$，
∴Rt△AEN∽Rt△BFN，
∴∠ANM=∠BNM．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點、三角函數(shù)的定義、根與系數(shù)的關(guān)系、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．在（1）②中求得兩角的正切值是解題的關(guān)鍵，在（2）中利用根與系數(shù)的關(guān)系，整理求得$\frac{NF}{BF}=\frac{NE}{AE}$，是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．