Question

4．如圖，過原點的直線y=k₁x和y=k₂x與反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象分別交于兩點A，C和B，D，連接AB，BC，CD，DA．
（1）四邊形ABCD一定是平行四邊形；（直接填寫結(jié)果）
（2）四邊形ABCD可能是矩形嗎？若可能，試求此時k₁，k₂之間的關(guān)系式；若不能，說明理由；
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₂＞x₁＞0）是函數(shù)y=$\frac{1}{x}$圖象上的任意兩點，a=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，b=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，試判斷a，b的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線y=k₁x和y=k₂x與反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象關(guān)于原點對稱，即可得到結(jié)論．
（2）聯(lián)立方程求得A、B點的坐標，然后根據(jù)OA=OB，依據(jù)勾股定理得出 $\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}{+k}_{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{k}_{2}}{+k}_{2}}$，兩邊平分得$\frac{1}{{k}_{1}}$+k₁=$\frac{1}{{k}_{2}}$+k₂，整理后得（k₁-k₂）（k₁k₂-1）=0，根據(jù)k₁≠k₂，則k₁k₂-1=0，即可求得；
（3）由P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₂＞x₁＞0）是函數(shù)y=$\frac{1}{x}$圖象上的任意兩點，得到y(tǒng)₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，求出a=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}}{2}$=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}}$，得到a-b=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}}$-$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}{（x}_{1}{+x}_{2}）}$=$\frac{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}{（x}_{1}{+x}_{2}）}$＞0，即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）∵直線y=k₁x和y=k₂x與反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象關(guān)于原點對稱，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四邊形ABCD 是平行四邊形；
故答案為：平行；

（2）解：∵正比例函數(shù)y=k₁x（k₁＞0）與反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象在第一象限相交于A，
∴k₁x=$\frac{1}{x}$，解得x=$\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}}$（因為交于第一象限，所以負根舍去，只保留正根）
將x=$\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}}$帶入y=k₁x得y=$\sqrt{{k}_{1}}$，
故A點的坐標為（$\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}}$，$\sqrt{{k}_{1}}$）同理則B點坐標為（$\sqrt{\frac{1}{{k}_{2}}}$，$\sqrt{{k}_{2}}$），
又∵OA=OB，
∴$\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}{+k}_{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{k}_{2}}{+k}_{2}}$，兩邊平方得：$\frac{1}{{k}_{1}}$+k₁=$\frac{1}{{k}_{2}}$+k₂，
整理后得（k₁-k₂）（k₁k₂-1）=0，
∵k₁≠k₂，
所以k₁k₂-1=0，即k₁k₂=1；

（3）∵P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₂＞x₁＞0）是函數(shù)y=$\frac{1}{x}$圖象上的任意兩點，
∴y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∴a=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}}{2}$=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}}$，
∴a-b=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}}$-$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}{（x}_{1}{+x}_{2}）}$=$\frac{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}{（x}_{1}{+x}_{2}）}$，
∵x₂＞x₁＞0，
∴${{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}$＞0，x₁x₂＞0，（x₁+x₂）＞0，
∴$\frac{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}{（x}_{1}{+x}_{2}）}$＞0，
∴a-b＞0，
∴a＞b．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定和性質(zhì)，比較代數(shù)式的大小，掌握反比例函數(shù)圖形上點的坐標的特征是解題的關(guān)鍵．