Question

13．如圖，已知⊙O的一條直徑AB與弦CD相交于點E，且AC=2，AE=$\sqrt{3}$，CE=1，則圖中陰影部分的面積為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}π}{9}$
• B． $\frac{4\sqrt{3}π}{9}$
• C． $\frac{2π}{9}$
• D． $\frac{4π}{9}$

Answer 1

分析 由AC=2，AE=$\sqrt{3}$，CE=1，根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷△ACE為直角三角形，然后由sinA=$\frac{1}{2}$，可得∠A=30°，然后根據(jù)圓周角定理可得：∠COB=60°，然后由∠AEC=90°，可得AE⊥CD，然后根據(jù)垂徑定理可得：$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，進而可得：∠BOD=∠COB=60°，進而可得∠COD=120°，然后在Rt△OCE中，根據(jù)sin∠COE=$\frac{CE}{OC}$，計算出OC的值，然后根據(jù)扇形的面積公式：S_扇形DAB=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$，計算即可．

解答 解：∵AE²+CE²=4=AC²，
∴△ACE為直角三角形，且∠AEC=90°，
∴AE⊥CD，
∴$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴∠BOD=∠COB，
∵sinA=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，
∴∠COB=2∠A=60°，
∴∠BOD=∠COB=60°，
∴∠COD=120°，
在Rt△OCE中，
∵sin∠COE=$\frac{CE}{OC}$，
即sin60°=$\frac{1}{OC}$，
解得：OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_扇形OCD=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$=$\frac{120π×\frac{4}{3}}{360}$=$\frac{4}{9}π$．
故選D．

點評 此題考查了扇形的面積公式，勾股定理的逆定理，圓周角定理及解直角三角形等知識，解題的關鍵是：據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ACE為直角三角形．