Question

16．如圖，在x軸的上方，∠BOA（直角）繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)y=-$\frac{1}{x}$、y=$\frac{2}{x}$的圖象交于B、A兩點(diǎn)，則△AOB面積的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)B、A作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)C、D，再過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線(xiàn)，交AD于點(diǎn)E，則四邊形BCDE為矩形．設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{m}$），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（n，$\frac{2}{n}$），利用勾股定理可用n、m表示OB、OA、AB的長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)證明∠OAB為一定值，即tan$∠OAB=\frac{OB}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用這個(gè)關(guān)系及不等關(guān)系a²+b²≥2ab可求出△AOB面積的最小值．

解答 解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)B、A作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)C、D，再過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線(xiàn)，交AD于點(diǎn)E．


∵BC⊥OC，AD⊥OD，BE⊥AD，
∴四邊形BCDE是矩形，
∵點(diǎn)B、A分別在函數(shù)y=-$\frac{1}{x}$、y=$\frac{2}{x}$上，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{m}$），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（n，$\frac{2}{n}$），
∴OC=-m，BC=-$\frac{1}{m}$，OD=n，AD=$\frac{2}{n}$，BE=n-m，AE=$\frac{2}{n}+\frac{1}{m}$，
∴根據(jù)勾股定理，在Rt△OBC、Rt△ODA、Rt△ABE中，可分別求出：
OB=$\sqrt{B{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}}$         
OA=$\sqrt{A{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{n}^{2}+\frac{4}{{n}^{2}}}$，
AB=$\sqrt{B{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（n-m）^{2}+（\frac{2}{n}+\frac{1}{m}）^{2}}$=$\sqrt{{{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}+n}^{2}+\frac{4}{{n}^{2}}-2mn+\frac{4}{mn}}$，
又∵∠AOB是直角，
∴在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}+{n}^{2}+\frac{4}{{n}^{2}}}$，
即：=$\sqrt{{{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}+n}^{2}+\frac{4}{{n}^{2}}-2mn+\frac{4}{mn}}$=$\sqrt{{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}+{n}^{2}+\frac{4}{{n}^{2}}}$，
∴$\frac{4}{mn}-2mn=0$
∴mn=-$\sqrt{2}$
即：m=-$\frac{\sqrt{2}}{n}$
在Rt△AOB中，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}}}{\sqrt{{n}^{2}+\frac{4}{{n}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{\frac{2}{{n}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{2}}}{\sqrt{{n}^{2}+\frac{4}{{n}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OAB 的大小不變，即$\frac{OB}{OA}$的值不變，OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$•OA²=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（n²+$\frac{4}{{n}^{2}}$），
∵n²+$\frac{4}{{n}^{2}}$≥4
∴S_△AOB≥$\frac{\sqrt{2}}{4}$×4=$\sqrt{2}$
即：△AOB面積的最小值為$\sqrt{2}$
故答案為：$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，關(guān)鍵是弄清楚在整個(gè)旋轉(zhuǎn)變化的過(guò)程中存在的不變關(guān)系．