Question

8．設(shè)a、b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤x≤n時(shí)，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”．
（1）一次函數(shù)y=-x+7是閉區(qū)間[3，4]上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷，并說明理由；
（2）若二次函數(shù)y=x²-4x-1是閉區(qū)間[a，b]上的“閉函數(shù)”，a＜2＜b，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 （1）分別計(jì)算出自變量為3或4時(shí)的函數(shù)值，然后根據(jù)閉函數(shù)的定義進(jìn)行判斷；
（2）首先求出二次函數(shù)y=x²-4x-1最小值，結(jié)合閉函數(shù)的定義以及二次函數(shù)的增減性即可求出a和b的值．

解答 解：（1）x=3時(shí)，y=-x+7=4；當(dāng)x=4時(shí)，y=-x+7=3，
所以y=-x+7是閉區(qū)間[3，4]上的“閉函數(shù)”；
（2）∵二次函數(shù)解析式為y=x²-4x-1，
∴y=（x-2）²-5，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值為-5，
∵當(dāng)a＜2＜b時(shí)，二次函數(shù)y=x²-4x-1是閉區(qū)間[a，b]上的“閉函數(shù)”，
∴a=-5，
∴b²-4b-1=b，
∴b=$\frac{5+\sqrt{29}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是理解閉區(qū)間以及閉函數(shù)的意義，此題難度不大．