Question

5．在△ABC中，∠ACB=90°，E為BC上一點，以CE為直徑作⊙O，AB與⊙O相切于點D，連接CD，若BE=OE=2．
（1）求證：△ACD為等邊三角形；
（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）．

Answer 1

分析 （1）連接OD，求出∠ODB=90°，求出∠B=30°，∠DOB=60°，求出∠DCB度數(shù)，關(guān)鍵三角形內(nèi)角和定理求出∠A，即可得出答案；
（2）根據(jù)勾股定理求出BD，分別求出△ODB和扇形DOE的度數(shù)，即可得出答案．

解答 （1）證明：連接OD，
∵AB是⊙O切線，
∴∠ODB=90°，
∴BE=OE=OD=2，
∴∠B=30°，∠DOB=60°，
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC=$\frac{1}{2}$∠DOB=30°，
∴∠ADC=90°-∠CDO=60°，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴∠A=∠ACD=∠ADC=60°，
∴△ACD為等邊三角形；

（2）解：∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，
由勾股定理得：BD=2$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積S=S_△ODB-S_扇形DOE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2-$\frac{60π{•2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點評 本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積，勾股定理，切線的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合性運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．