Question

17．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-x+b（b為常數(shù)，b是由普通骰子隨意拋的點(diǎn)數(shù)）的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，半徑為2$\sqrt{2}$的⊙O與x軸正半軸相交于點(diǎn)C，與y軸相交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)D在點(diǎn)E上方．
（1）①如圖1，若直線AB與⊙O相切于T，求b的值；
②直接寫出直線AB與⊙O相離、相切和相交的概率．
（2）如圖2，直線AB與⊙O相交于F、G兩點(diǎn)，求FG的所有可能的值．

Answer 1

分析 （1）①直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出b=$\sqrt{2}$OT，進(jìn)而得出答案；
②分別利用b＞4（b=5，6）時，當(dāng)b=4時，當(dāng)b＜4（b=1，2，3）時求出即可；
（2）利用已知用b表示出FG的長，進(jìn)而得出答案．

解答 解：一次函數(shù)y=-x+b中，當(dāng)x=0，y=b；當(dāng)y=0，x=b．
∴A（0，b）、B（b，0），△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=∠OBA=45°，
（1）①如圖1，連接OT，OT⊥AB，則△OTB是等腰直角三角形，
故b=$\sqrt{2}$OT=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4；

②當(dāng)b＞4（b=5，6）時，直線AB與⊙O相離，P（相離）=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$；
當(dāng)b=4時，直線AB與⊙O 相切；P（相切）=$\frac{1}{6}$；
當(dāng)b＜4（b=1，2，3）時，直線AB與⊙O 相交，P（相交）=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$．

（2）如圖2，作OM⊥AB點(diǎn)M，連接OF，
∵OM=$\frac{\sqrt{2}}$，F(xiàn)G=2FM=2$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}）^{2}}$=2$\sqrt{8-\frac{^{2}}{2}}$=$\sqrt{32-2^{2}}$，
∴當(dāng)b=1，2，3時，F(xiàn)G=$\sqrt{30}$，2$\sqrt{6}$，$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了圓的綜合以及概率求法和等腰直角三角形的性質(zhì)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．