Question

已知關于x的方程x²-mx+

m

2

-

1

4

=0．
（1）求證：無論m取什么數，方程總有兩個實數根；
（2）若?ABCD的兩邊AB，AD的長是已知方程的兩個實數根；
①當m為何值時，?ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；
②若AB的長為2，那么?ABCD的周長是多少？

Answer 1

考點：平行四邊形的性質,根的判別式,菱形的判定

專題：

分析：（1）由△=（-m）²-4×1×（

m

2

-

1

4

）=m²-2m+1=（m-1）²≥0，即可判定無論m取什么數，方程總有兩個實數根；
（2）①由當△=（m-1）²=0時，?ABCD是菱形，即可求得m的值，然后代入原方程，即可求得時菱形的邊長；
②由AB=2，代入x²-mx+

m

2

-

1

4

=0，即可求得m的值，然后代入原方程，即可求得?ABCD的邊長，繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵△=（-m）²-4×1×（

m

2

-

1

4

）=m²-2m+1=（m-1）²≥0，
∴無論m取什么數，方程總有兩個實數根；

（2）解：①∵?ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴當△=（m-1）²=0時，
即m=1時，?ABCD是菱形，
把m=1代入已知方程可得：x²-x+

1

4

=0，
解得：x₁=x₂=

1

2

；
∴這時菱形的邊長為：

1

2

；

②∵AB=2，
∴2²-2m+

m

2

-

1

4

=0，
解得：m=

5

2

，
把x=

5

2

代入已知方程，可得：x²-

5

2

x+1=0，
解得：x₁=2，x₂=

1

2

，
∴?ABCD的周長是：2×（2+

1

2

）=5．

點評：此題考查了平行四邊形的性質以及一元二次方程根的情況．此題難度適中，注意掌握方程思想的應用．