Question

9．如圖，已知點P是等邊三角形ABC內一點，PA=4，PB=3，PC=5，求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析 將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，根據(jù)旋轉的性質得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度數(shù)．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，
可將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，
連EP，如圖，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE為等邊三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE²=PE²+PA²，
∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．

點評 本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了等邊三角形的判定與性質以及勾股定理的逆定理．