Question

18．拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，2），B（3，2）兩點(diǎn)，若兩動(dòng)點(diǎn)D、E同時(shí)從原點(diǎn)O分別沿著x軸、y軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)D的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．
（1）求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C為拋物線與x軸的交點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D，使A、B、C、D四點(diǎn)圍成的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）問(wèn)幾秒鐘時(shí)，B、D、E在同一條直線上？

Answer 1

分析 （1）把A（0，2），B（3，2）兩點(diǎn)代入拋物線y=x²+bx+c即可得到結(jié)果；
（2）存在，由已知條件得AB∥x軸，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對(duì)邊相等列方程即可求得結(jié)果；
（3）設(shè)t秒鐘時(shí)，B、D、E在同一條直線上，則OE=t，OD=2t，設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，把B，D，E三點(diǎn)代入，解方程組即可得到答案．

解答 解：（1）拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，2），B（3，2）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{2=9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²-3x+2，
令y=0，則x²-3x+2=0，
解得：x₁=1，x₂=2，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0），（2，0）；

（2）存在，由已知條件得AB∥x軸，
∴AB∥CD，
∴當(dāng)AB=CD時(shí)，
以A、B、C、D四點(diǎn)圍成的四邊形是平行四邊形，
設(shè)D（m，0），
當(dāng)C（1，0）時(shí)，則CD=m-1，
∴m-1=3，
∴m=4，
當(dāng)C（2，0）時(shí)，則CD=m-2，
∴m-2=3，
∴m=5，
∴D（5，0），
綜上所述：當(dāng)D（4，0）或（5，0）時(shí)，使A、B、C、D四點(diǎn)圍成的四邊形是平行四邊形；

（3）設(shè)t秒鐘時(shí)，B、D、E在同一條直線上，則OE=t，OD=2t，
∴E（0，t），D（2t，0），
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t=b}\\{2=3k+b}\\{0=2tk+b}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$或k=$\frac{2}{3}$（不合題意舍去），
∴當(dāng)k=-$\frac{1}{2}$，t=$\frac{7}{2}$，
∴點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)$\frac{7}{2}$秒鐘時(shí)，B、D、E在同一條直線上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確的理解題意，把握數(shù)量之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．