Question

6．給出定義，若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．
如圖，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，連接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求證：△BCE是等邊三角形；
②求證：DC²+BC²=AC²，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

分析 （1）首先證明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，連接CE，進(jìn)一步得出△BCE為等邊三角形；
（2）利用等邊三角形的性質(zhì)，進(jìn)一步得出△DCE是直角三角形，問題得解．

解答 解：（1）∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等邊三角形；
（2）∵△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
∴△BCE為等邊三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC²+CE²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．
即四邊形ABCD是勾股四邊形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查勾股定理，三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合性很強(qiáng)的題目．解決本題的關(guān)鍵是證明△BCE是等邊三角形．