Question

8．如圖，△ABC中，點M是AB邊的中點，點D是BC邊上一個動點，直線DM交射線AG于點E，AG∥BC．
（1）求證：ME=MD；
（2）N是AC的中點，且MN=5．
填空：①若AB=AC，當(dāng)BD=5時，四邊形AEBD是矩形；
②若AB⊥AC，當(dāng)BD=5時，四邊形AEBD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠AEM=∠BDM，求出AM=BM，根據(jù)AAS推出△AEM≌△BDM即可；
（2）①根據(jù)三角形中位線求出BC長，求出四邊形是平行四邊形，求出∠ADB=90°，根據(jù)矩形的判定推出即可；
②根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出AD=DB，根據(jù)菱形的判定推出即可．

解答 （1）證明：∵AG∥BC，
∴∠AEM=∠BDM，
∵點M是AB邊的中點，
∴AM=BM，
在△AEM和△BDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMA=∠BMD}\\{∠AEM=∠BDM}\\{AM=BM}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△BDM，
∴ME=MD；

（2）解：①當(dāng)BD=5時，四邊形AEBD是矩形，
理由是：∵點M是AB邊的中點，N是AC的中點，MN=5，
∴BC=2MN=10，
∴CD=BD=5，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵EM=DM，AM=BM，
∴四邊形AEBD是平行四邊形，
∴四邊形AEBD是矩形，
故答案為：5；

②當(dāng)BD=5時，四邊形AEBD是菱形，
理由是：∵點M是AB邊的中點，N是AC的中點，MN=5，
∴BC=2MN=10，
∴CD=BD=5，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴AD=BD，
∵四邊形AEBD是平行四邊形，
∴四邊形AEBD是菱形，
故答案為：5．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，三角形的中位線，菱形的判定，平行四邊形的判定，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．