Question

4．如圖，直線y=-$\frac{1}{2}$x+m交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于H，連結(jié)BH，若OH：HC=1：5，S_△ABH=6，則k的值為3．

Answer 1

分析 解：設(shè) OH=a 則 HC=5a，把C（6a，0）代入 y=-$\frac{1}{2}$x+m 得m=3a，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為 （a，n） 代入 y=-$\frac{1}{2}$x+m 得到A（a，$\frac{5}{2}$a） 代入 y=$\frac{k}{x}$得 $\frac{5}{2}$a=$\frac{k}{a}$求得k=$\frac{5}{2}$a²，于是得到H點(diǎn)坐標(biāo)為（a，$\frac{5}{2}$a） B點(diǎn)坐標(biāo)為（5a，$\frac{1}{2}$a²）根據(jù)三角形的面積列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè) OH=a 則 HC=5a，
∴C（6a，0）代入 y=-$\frac{1}{2}$x+m 得m=3a，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為 （a，n） 代入 y=-$\frac{1}{2}$x+m 得 n=-$\frac{1}{2}$a+3a
n=$\frac{5}{2}$a，
∴A（a，$\frac{5}{2}$a） 代入 y=$\frac{k}{x}$得 $\frac{5}{2}$a=$\frac{k}{a}$，
∴k=$\frac{5}{2}$a²，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+3a ①
y=$\frac{5{a}^{2}}{2x}$  ②
由①②得-$\frac{1}{2}$ x+3a=$\frac{5{a}^{2}}{2x}$，
化簡(jiǎn)，得 x²-6ax+5a²=0，
解得：x=5a 或 x=a，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，$\frac{5}{2}$a） B點(diǎn)坐標(biāo)為（5a，$\frac{1}{2}$a）
∴△ABH的底邊=AH=$\frac{5}{2}$a，△ABH的高=B點(diǎn)橫坐標(biāo)-H點(diǎn)橫坐標(biāo)=5a-a=4a，
∴S_△ABH=$\frac{1}{2}$×△ABH的底邊×△ABH的高=$\frac{1}{2}×$$\frac{5}{2}$a×4a=5a² ③
∵S_△ABH=6，④
由③④得 5a²=6，
∴k=$\frac{5}{2}$a²=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積的計(jì)算，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．