Question

19．如圖所示，在△ABC=90°，AC=5cm，BC=12cm，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，連接DC交AB于點(diǎn)F．
（1）求∠ABE的度數(shù)；
（2）求DC的長(zhǎng)；
（3）求△ACF與△BDF的周長(zhǎng)之和是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義進(jìn)行解答；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠CBD=60°，BC=BD，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法判斷△BCD是等邊三角形，則等邊三角形的三條邊相等；
（3）先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=13cm，再利用三角形周長(zhǎng)定義得到△ACF與△BDF的周長(zhǎng)之和=AC+CD+AB+BD，接著由△BCD為等邊三角形得到CD=BC=BD=12，于是計(jì)算出△ACF與△BDF的周長(zhǎng)之和．

解答 解：（1）如圖，∵將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，
∴∠ABE=60°；

（2）∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，
∴∠CBD=60°，BC=BD=12cm，
∴△BCD為等邊三角形，
∴DC=BC=12cm；

（3）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=13（cm），
∵△ACF與△BDF的周長(zhǎng)之和=AC+CF+AF+DF+BD+BF=AC+CD+AB+BD，
∵△BCD為等邊三角形，
∴CD=BC=BD=12，
∴△ACF與△BDF的周長(zhǎng)之和=5+12+13+12=42（cm）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形綜合題，需要掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．還需要熟悉勾股定理的應(yīng)用，難度不大．