Question

16．如圖，一次函數(shù)y=-x+b（b＞0）的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，AM⊥y軸，BN⊥x軸，垂足分別為M、N．下列結(jié)論：
①OA=OB；
②△AOM≌BON；
③∠AOB=45°，則△AOB的面積=k；
④當(dāng)AB=$\sqrt{2}$時(shí)，ON=BN=1．
其中，結(jié)論正確的有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 首先設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立y=-x+b與y=$\frac{k}{x}$，得x²-bx+k=0，則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，比較可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可證結(jié)論；再利用作OH⊥AB，垂足為H，根據(jù)對稱性可證△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可證S_△AOB=k；最后延長MA，NB交于G點(diǎn)，可證△ABG為等腰直角三角形，當(dāng)AB=$\sqrt{2}$時(shí)，GA=GB=1，則ON-BN=GN-BN=GB=1，即可得出結(jié)論正確與否．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入y=$\frac{k}{x}$中，得x₁•y₁=x₂•y₂=k，
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，得x²-bx+k=0，
則x₁•x₂=k，
又x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂•y₂=k，
可得x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN，
∴OA=OB，△AOM≌△BON，故①②都正確；
作OH⊥AB，垂足為H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵△AOM≌△BON，
∴∠MOA=∠BON=22.5°，∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$k=k，故③正確；
延長MA，NB交于G點(diǎn)，
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG為等腰直角三角形，
當(dāng)AB=$\sqrt{2}$時(shí)，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，
∴當(dāng)AB=$\sqrt{2}$時(shí)，ON=BN=1不成立，即④錯(cuò)誤；
∴正確的結(jié)論有3個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，以及反比例函數(shù)圖象的對稱性．